\documentclass[12pt,a4paper,fleqn]{article}
\usepackage{amssymb ,amsfonts,amsthm}
\usepackage[norsk]{babel}           % Norsk stil, orddeling etc.
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{tikz}
\usepackage{polynom}
%\raggedleft
\usepackage[document]{ragged2e}

\usepackage{tcolorbox}

\definecolor{bg}{gray}{0.95}
\pagenumbering{gobble}
\usepackage{hyperref}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{opg}{Oppgave}
\newtheorem{oppgave}{Oppgave}

\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textheight}{26cm}

\usepackage{tcolorbox}
\usepackage{graphicx}
%\newtheorem{ex}{Oppgave}
%\newcommand{\oppgave}{\subsection{}}

%\setlength{\mathindent}{1.5cm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\setlength{\footskip}{2cm}
\setlength{\textwidth}{15.5cm}
\setlength{\footskip}{1cm}
\setlength{\topskip}{0cm}
\setlength{\topmargin}{0cm}
\setlength{\headheight}{0.5cm}
\setlength{\headsep}{0cm}
\pagestyle{plain}

\begin{document}

\begin{center}
\sffamily \Large
\begin{tabular}[t]{ll}
 Innlevering i               &  FORK1120 - Matematikk forkurs OsloMet \\
                            & Obligatorisk innlevering  2 \\
Innleveringsfrist           & Torsdag  16.~oktober 2025  \\
%Antall oppgaver:             & 11
\end{tabular}
\end{center}

 Vis mellomregningene dere gj\o r.  Test gjerne   svarene deres.  For eksempel kan dere plotte uttrykkene som forekommer i ulikhetene og likningene, og sjekke at l\o sningsmengden dere har kommet frem til  stemmer. \\
% En br\o k er p\aa\ standard form hvis den er $ m/n $ hvor $ n>0$, $ m \not=0$ og $m$ og $n$ er relativt primiske, eller den er $0/1$.

\oppgave  L\o s de irrasjonale likningene eksakt.
\begin{enumerate}
    \item $ \sqrt{2x + 1 } = x-1 $
    \item $ \sqrt{x} - x = 2 $
    \item $ \sqrt{3x + 3}  = 5 - x $
\end{enumerate}


\oppgave  L\o s   ulikhetene ved regning, og oppgi svarene  ved bruk av mengdenotasjon.
\begin{enumerate}
 \item
\( \displaystyle x + 1 \geq 3 - 4x \)
 \item
\( \displaystyle \frac{2}{3}\cdot x    \leq  \frac{1}{4 } + \frac{3x }{5}  \)
 \item
\(\displaystyle  {x^3}  \leq
 \frac{8}{27} \)
  \item
\(\displaystyle  {x^4}  \geq
 81 \)
 \item
 \(\displaystyle  3x - 6 < x +3  \leq 5x -1 \)
    \item $x^2 + 3x < 2$
    \item $x^3 + 7x^2  \geq -30x $
   % \item $\displaystyle \frac{2}{x} > 3x + 1 $
\end{enumerate}
\oppgave
\begin{enumerate}
 \item[a)]  Peter er 2 \aa r og Hanne er 16 \aa r.  N\aa r er Hanne tre ganger s\aa\ gammel som Peter?



 \item[b)] Ane, Bente og Casper har til sammen 102 kroner. Ane har 10 kroner mer enn Bente, og  Ane og Bente har tilsammen dobbelt s\aa \ mye penger som Casper.
 Hvor mye penger har Ane, Bente og Casper?
\end{enumerate}
\oppgave
Vi har tre forskjellige objekter med vekt $a, b$ og $c$ gram. Vi har flere identiske kopier av hver av objektene. Vi kjenner vekten til f\o lgende kombinasjoner av dem
\[ 3a + b + 2c = 90 \qquad a + 3b + c = 95 \qquad 2a  + 5b + 3c = 182.4 \]
Bestem vekten til hver av objektene.


\oppgave
L\o s de ikkeline\ae re likningssystemene eksakt.
\[ 1. \quad
    x^2    +   2 y^2   =  3  \quad \textrm{og} \quad x+2y =1
    \]
 \[ 2. \quad
    x y + 2   = 0  \quad \textrm{og} \quad y^2 - 3  =x
    \]

    \oppgave
    L\o s f\o lgende ulikheter ved regning, og oppgi svarene eksakt.

    \begin{enumerate}
      \item
\( \displaystyle \frac{2}{x + 1} \geq 0 \)
 \item
\( \displaystyle \frac{2}{x + 1} \geq 3 \)
 \item
\(\displaystyle \frac{x+4 }{x -3 }  \leq
 2 \)
 \item
 \(\displaystyle \frac{2x }{x +3 }  - \frac{x }{x -2 }  \leq 0 \)
    \item  \(\displaystyle \frac{2 }{x +3 }  - \frac{1 }{x -2 }  \leq 1 \)
\end{enumerate}


\oppgave

\begin{enumerate}
     \item  Finn likningen til linjen med stigningstall 3 og nullpunkt i $ x = 2 $.
    \item Finn likningen til linjen gjennom punktene $ (-2 ,1 )  $ og $( 3, -2 )$.
    \item   Finn snittpunktet til de to linjenen ovenfor.
    \item  Bestem hvor linjen $ y = 3 -2x$ ligger p\aa\ eller over linjen med stigningstall 1 og nullpunkt $ x=-2$.
\end{enumerate}

\oppgave

\begin{enumerate}
    \item Finn likningen til parabelen med toppunkt $ (1,1)$ som g\aa r gjennom $ (-1 ,-2)$.
    \item Finn likningen til parabelen som g\aa r gjennom punktene $( -1 ,1 ) , (0,1) $ og $ (1,3)$.
    \item Finn likningen til parabelen som g\aa r gjennom punktene $( -2 ,5 ) , (-1,-2 ) $ og $ (1,2)$.
    \item Finn likningene for alle parabler som g\aa r gjennom de to punktene $ ( 1, 1 ) $ og $ ( 2, 4 )$.
    Parametriser gjene l\o sningene med den ledende koeffisienten.
\end{enumerate}

\oppgave

Finn asymptotene  til funksjonene
\begin{enumerate}
    \item
  \(\displaystyle \frac{x^3 + 2x -3}{x^2 +1}  \)
    \item \(\displaystyle\frac{ x^2 -4x -5 }{3x^2 -12} \)
    \item  \(\displaystyle 2 x -1 + \frac{ 3}{x^4 -3x^2 +2} \)
\end{enumerate}

Her er noen oppgaver for de som trenger ekstra utfordring

\oppgave (Joakim) Faktoriser polynomet mest mulig
\[ x^6 + 2x^5 + 2 x^4 - 2 x^2 -2x -1 \]

\oppgave  L\o s likningene eksakt
\[
3 - \sqrt{x}  =   \sqrt{x-3}  \qquad \textrm{og} \qquad
\sqrt{x+4} + 3 = \sqrt{2x+3} +1\]

\end{document}